Diagramma ad albero delle probabilità
Rappresenta un esperimento aleatorio stadio per stadio: la probabilità si scrive sul ramo, il risultato con la sua probabilità congiunta sulla foglia. Modifica un modello, verifica che i rami diano 1 ed esporta — nulla lascia il browser.
Un passo per riga. Rientra di due spazi per ramificare sotto la riga precedente.
Costruirlo stadio per stadio
Un diagramma ad albero si legge da sinistra a destra: la radice è l’esperimento aleatorio, ogni colonna di rami è uno stadio, ogni foglia un esito finale. La probabilità di un ramo si scrive sul ramo stesso — in Mermaid, nell’etichetta della freccia: -->|0,5| — mentre sulla foglia va la probabilità congiunta, cioè il prodotto di tutte le probabilità incontrate lungo il percorso dalla radice.
Dal secondo stadio in poi le probabilità sono condizionate: presuppongono che il primo stadio sia già avvenuto. È il motivo per cui l’esempio dell’estrazione senza reimmissione passa dal denominatore 5 al denominatore 4 alla seconda estrazione — una pallina è già uscita e non torna nell’urna.
Prodotto lungo il percorso, somma tra percorsi
Bastano due regole. Teorema del prodotto (o della probabilità composta): la probabilità di un percorso è il prodotto delle probabilità che lo compongono. Teorema della probabilità totale: se più percorsi portano allo stesso evento, si sommano le loro probabilità congiunte. Nell’esempio dell’urna, P(una pallina per colore) = P(rossa poi blu) + P(blu poi rossa) = 6/20 + 6/20 = 12/20.
A queste si aggiunge il controllo che salva quasi ogni compito in classe: i rami che escono da un nodo devono dare esattamente 1. Se danno meno manca un esito, se danno più un caso è stato contato due volte.
Il test diagnostico, ovvero perché conta la prevalenza
Il terzo esempio è il classico del teorema di Bayes: una malattia che colpisce l’1 % della popolazione e un test con sensibilità del 99 % che però dà il 5 % di falsi positivi tra i sani. L’albero restituisce P(test positivo) = 0,0099 + 0,0495 = 0,0594, di cui solo 0,0099 riguarda persone davvero malate. Quindi P(malato dato il test positivo) = 0,0099 / 0,0594 ≈ 17 %: circa una su sei, con un test descritto come «accurato al 99 %».
Leggere le probabilità congiunte direttamente sulle foglie e sommare quelle che servono è esattamente ciò per cui serve un albero: tiene la prevalenza sotto gli occhi invece di nasconderla dentro una formula.
Tipi di diagramma
Domande frequenti
Come si costruisce un diagramma ad albero delle probabilità?
Si parte da «graph LR», si aggiunge un nodo radice per l’esperimento e poi una freccia per ogni esito con la probabilità nell’etichetta, per esempio S -->|0,5| T["Testa"]. La probabilità congiunta va nell’etichetta di ogni foglia. L’albero si disegna subito e si esporta in SVG o PNG.
Si moltiplica o si somma?
Si moltiplica lungo un percorso (teorema del prodotto) e si sommano percorsi diversi che portano allo stesso evento (probabilità totale). Il valore su una foglia è sempre il prodotto delle probabilità dei rami che vi conducono.
I rami devono dare 1?
Sì. In ogni nodo i rami uscenti coprono tutti gli esiti possibili di quello stadio, quindi le loro probabilità danno esattamente 1. È la verifica più rapida prima di consegnare.
Posso usare le frazioni invece dei decimali?
Sì — le etichette sono testo, quindi 3/5 funziona come 0,6. Le frazioni restano esatte nei problemi senza reimmissione, i decimali si leggono meglio quando si tratta di percentuali misurate. Meglio tenere una sola notazione per albero.
Che cosa cambia senza reimmissione?
Le probabilità del secondo stadio diventano condizionate perché il denominatore si riduce: la prima pallina non torna nell’urna. Nell’esempio, dopo una pallina rossa la seconda estrazione vale 2/4 rossa e 2/4 blu.
È gratis e i dati vengono caricati da qualche parte?
È gratis, senza registrazione e senza filigrana, e l’albero viene disegnato nel browser: compiti, esercizi e svolgimenti non lasciano il tuo dispositivo.