確率の樹形図メーカー
試行を段階ごとに書き出します。各枝には確率を、各葉には結果とその同時確率を。テンプレートを書き換え、枝の和が 1 になるかを確かめて書き出す — 入力内容はブラウザの外に出ません。
1行に1ステップ。2スペース字下げすると上の行の下に分岐します。
段階ごとに組み立てる
樹形図は左から右へ読みます。根が試行、枝の一列が 1 つの段階、そして葉が最終的な結果です。枝の確率は枝そのものに書き — Mermaid では矢印のラベル -->|0.5| がそれにあたります — 葉には同時確率、つまり根からその葉までの枝の確率をすべて掛け合わせた値を書きます。
2 段階目以降の確率は条件付き確率で、1 段階目がすでに起こったことを前提にしています。非復元抽出の例で 2 回目の分母が 5 から 4 に変わるのはこのためです。玉を 1 個取り出したまま戻していないので、袋の中身が減っています。
乗法定理と加法定理、それに和が 1 の確認
使う規則は 2 つだけです。乗法定理:1 本の経路をたどるときは確率を掛ける(これが起こり、かつ次にあれが起こる)。加法定理:同じ事象に至る経路が複数あるときは、それぞれの同時確率を足す(こちらの経路、またはあちらの経路)。袋の例では P(赤と青が 1 個ずつ) = P(赤→青) + P(青→赤) = 6/20 + 6/20 = 12/20 になります。
これに、答案を守ってくれる確認をもう 1 つ。1 つの節点から出る枝の確率は、足すとちょうど 1 になります。1 より小さければ結果を書き落としており、1 より大きければどこかを二重に数えています。樹形図を目の前に置くと、この 2 つの確認がどちらも機械的な作業になります。
医療検査の樹形図 — 有病率が効くわけ
3 つ目の例はベイズの定理の定番です。有病率 1 %、感度 99 %、健康な人でも 5 % が陽性になる検査。樹形図から P(陽性) = 0.0099 + 0.0495 = 0.0594 で、そのうち本当に罹患しているのは 0.0099 だけ。したがって P(罹患|陽性) = 0.0099 / 0.0594 ≒ 17 %、およそ 6 人に 1 人です。「99 % 当たる検査」でもこうなります。
葉に書いた同時確率をそのまま読み、必要なものだけ足す — 樹形図はまさにこのための道具です。有病率を式の中に埋もれさせず、図の上に出したままにしてくれます。
よくある質問
確率の樹形図はどう作りますか。
「graph LR」で始め、試行を表す根のノードを置き、結果ごとに矢印を 1 本ずつ引いてラベルに確率を書きます(例:S -->|0.5| H["表"])。同時確率は葉のラベルに入れます。図はその場で描画され、SVG または PNG で書き出せます。
確率は掛けるのですか、足すのですか。
1 本の経路をたどるときは掛けます(乗法定理)。同じ事象に至る別々の経路どうしは足します(加法定理)。葉に書かれる値は、必ずそこへ至る枝の確率の積です。
枝の確率は足して 1 にならないといけませんか。
はい。ある節点から出る枝は、その段階で起こりうる結果をすべて覆っているので、確率の和はちょうど 1 になります。提出前のいちばん速い自己点検です。
小数ではなく分数で書けますか。
書けます。ラベルはただのテキストなので、3/5 でも 0.6 でも同じように表示されます。非復元抽出の問題では分数のほうが誤差なく正確で、測定された割合は小数のほうが読みやすくなります。1 つの図の中では表記をそろえてください。
玉を戻さない場合は何が変わりますか。
2 段階目の確率が条件付き確率になり、分母が小さくなります。取り出した玉を袋に戻さないからです。上の例では、1 回目に赤を取り出したあと、2 回目は赤 2/4・青 2/4 になります。
無料ですか。入力した内容はアップロードされますか。
無料で、登録も透かしもありません。描画はすべてブラウザ内で行われるため、宿題や答案の途中式が端末の外に出ることはありません。