Arbre de probabilité (arbre pondéré)
Représentez une expérience aléatoire étape par étape : la probabilité s’écrit sur la branche, le résultat et sa probabilité de chemin sur la feuille. Modifiez un modèle, vérifiez la loi des nœuds, exportez — rien ne quitte votre navigateur.
Une étape par ligne. Indentez de deux espaces pour ramifier sous la ligne précédente.
Construire l’arbre étape par étape
Un arbre pondéré se lit de gauche à droite : la racine est l’expérience aléatoire, chaque colonne de branches est une étape, chaque feuille un résultat final. La probabilité d’une branche s’écrit sur la branche elle-même — en Mermaid, dans l’étiquette de la flèche : -->|0,5| — et la probabilité du chemin, produit de toutes les branches parcourues depuis la racine, se met dans la feuille.
À partir de la deuxième étape, les probabilités sont conditionnelles : elles supposent la première étape déjà réalisée. C’est pour cela que l’exemple du tirage sans remise passe d’un dénominateur 5 à un dénominateur 4 au second tirage — une boule est déjà sortie de l’urne.
Loi des nœuds, loi des chemins, probabilités totales
Trois règles suffisent. Loi des nœuds : la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut 1 ; si ce n’est pas le cas, il manque une issue ou une issue est comptée deux fois. Loi des chemins : la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin. Formule des probabilités totales : la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent.
Sur l’exemple de l’urne, P(une boule de chaque couleur) = P(rouge puis bleue) + P(bleue puis rouge) = 6/20 + 6/20 = 12/20. Avoir l’arbre sous les yeux rend ces trois vérifications mécaniques.
Le test médical, ou pourquoi la prévalence décide
Le troisième exemple est le grand classique de la classe de terminale : une maladie qui touche 1 % de la population, un test dont la sensibilité est de 99 % et qui donne 5 % de faux positifs chez les personnes saines. L’arbre donne P(test positif) = 0,0099 + 0,0495 = 0,0594, dont 0,0099 seulement correspond à de vrais malades. Donc P(malade sachant test positif) = 0,0099 / 0,0594 ≈ 17 % : environ une chance sur six, avec un test pourtant « fiable à 99 % ».
Lire les probabilités de chemin directement sur les feuilles puis additionner celles qui conviennent, c’est exactement ce à quoi sert un arbre pondéré — il rend la prévalence impossible à oublier.
Types de diagrammes
Questions fréquemment posées
Comment construire un arbre de probabilité ?
Commencez par « graph LR », ajoutez un nœud racine pour l’expérience aléatoire, puis une flèche par issue dont l’étiquette porte la probabilité, par exemple S -->|0,5| F["Face"]. La probabilité du chemin se met dans l’étiquette de la feuille. L’arbre s’affiche immédiatement et s’exporte en SVG ou en PNG.
Faut-il multiplier ou additionner les probabilités ?
On multiplie le long d’un chemin (loi des chemins) et on additionne les chemins qui mènent au même événement (formule des probabilités totales). La valeur portée par une feuille est toujours le produit des probabilités des branches qui y conduisent.
Les branches doivent-elles totaliser 1 ?
Oui : c’est la loi des nœuds. Les branches issues d’un nœud couvrent toutes les issues possibles de cette étape, leurs probabilités totalisent donc exactement 1. C’est la vérification la plus rapide avant de rendre une copie.
Puis-je écrire des fractions plutôt que des décimaux ?
Oui — les étiquettes sont du texte, 3/5 fonctionne aussi bien que 0,6. Les fractions restent exactes pour les tirages sans remise, les décimaux se lisent mieux pour des taux mesurés. Gardez une seule écriture par arbre.
Qu’est-ce qui change pour un tirage sans remise ?
Les probabilités de la deuxième étape deviennent conditionnelles : le dénominateur diminue puisque la première boule n’est pas remise dans l’urne. Dans l’exemple, après une boule rouge le second tirage donne 2/4 pour rouge et 2/4 pour bleue.
Est-ce gratuit, et mes calculs sont-ils envoyés quelque part ?
C’est gratuit, sans inscription ni filigrane, et l’arbre est calculé dans votre navigateur : devoirs, exercices et corrigés ne quittent pas votre appareil.